Хэрчмийн шулууны тэгшитгэлийг олох¶
Бодлого нь: хэрчмийн үзүүрүүдийн координат өгөгдсөн үед түүгээр дайрсан шулууныг байгуул.
Бид хэрчмийг degenerate case биш буюу түүний урт тэгээс их гэж үзнэ (эс бөгөөс мэдээж түүгээр төгсгөлгүй олон ялгаатай шулуун дайрна).
Хоёр хэмжээст тохиолдол¶
Өгөгдсөн хэрчим $PQ$ буюу түүний үзүүрүүдийн координат $P_x , P_y , Q_x , Q_y$ мэдэгдэж байг.
Энэ хэрчмээр дайрсан хавтгай дахь шулууны тэгшитгэлийг байгуулах, өөрөөр хэлбэл шулууны тэгшитгэл дэх $A , B , C$ коэффициентүүдийг олох шаардлагатай:
Өгөгдсөн хэрчмийг тодорхойлох $(A, B, C)$ гурвалуудын хувьд төгсгөлгүй олон шийд байдгийг анхаарна уу: та гурван коэффициентийг бүгдийг нь дурын тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлээд ижил шулууныг авч болно. Тиймээс бидний бодлого бол эдгээр гурвалуудын нэгийг олох явдал юм.
Дараах коэффициентүүдийн олонлог тохирохыг шалгахад амархан (эдгээр илэрхийлэл ба $P$, $Q$ цэгүүдийн координатыг шулууны тэгшитгэлд орлуулснаар):
Бүхэл тооны тохиолдол¶
Шулууныг байгуулах энэ аргын нэг чухал давуу тал нь хэрэв үзүүрүүдийн координат бүхэл тоо байсан бол гарч ирэх коэффициентүүд мөн бүхэл тоо байх явдал юм. Зарим тохиолдолд энэ нь бодит тоо огт ашиглалгүйгээр геометрийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломж олгодог.
Гэвч нэг жижиг сул тал бий: ижил шулууны хувьд өөр өөр коэффициентийн гурвал гарч ирж болно. Үүнээс зайлсхийх боловч бүхэл коэффициентээс салахгүйн тулд та ихэвчлэн нормчлол гэж нэрлэгддэг дараах аргыг хэрэглэж болно. $| A | , | B | , | C |$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг олоод бид гурван коэффициентийг бүгдийг нь түүнд хуваана, дараа нь тэмдгийн нормчлол хийнэ: хэрэв $A <0$ эсвэл $A = 0, B <0$ бол гурван коэффициентийг бүгдийг нь $-1$-ээр үржүүлнэ. Үүний үр дүнд ижил шулуунуудын хувьд ижил коэффициентийн гурвал гарч ирэх дүгнэлтэд бид хүрэх ба энэ нь шулуунуудыг тэнцүү эсэхийг шалгахад хялбар болгоно.
Бодит тооны тохиолдол¶
Бодит тоотой ажиллахдаа та алдааны талаар үргэлж анхаарч байх ёстой.
$A$ ба $B$ коэффициентүүд анхны координатуудын эрэмбэтэй байх ба $C$ коэффициент нь тэдгээрийн квадратын эрэмбэтэй байна. Эдгээр нь аль хэдийн нэлээд том тоо байж болох бөгөөд жишээ нь бид шулуунуудыг огтлолцуулах үед тэдгээр нь бүр илүү том болох ба энэ нь үзүүрийн цэгүүдийн координат $10^3$ эрэмбэтэй байхад аль хэдийн том дугуйруулалтын алдаанд хүргэж болно.
Тиймээс бодит тоотой ажиллахдаа нормчлол гэж нэрлэгддэг зүйлийг хийх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь энгийн: тухайлбал коэффициентүүдийг $A ^ 2 + B ^ 2 = 1$ байхаар болгох явдал юм. Үүний тулд $Z$ тоог тооцоол:
мөн гурван коэффициент $A , B , C$-г бүгдийг нь түүнд хуваа.
Ингэснээр $A$ ба $B$ коэффициентүүдийн эрэмбэ оролтын координатуудын эрэмбээс хамаарахгүй болох ба $C$ коэффициент нь оролтын координатуудтай ижил эрэмбэтэй байна. Практикт энэ нь тооцооллын нарийвчлалыг мэдэгдэхүйц сайжруулахад хүргэдэг.
Эцэст нь бид шулуунуудыг харьцуулах тухай дурдъя — үнэндээ ийм нормчлолын дараа ижил шулууны хувьд зөвхөн хоёр коэффициентийн гурвал гарч ирж болно: $-1$-ээр үржүүлэх ялгаатайгаар. Үүний дагуу хэрэв бид тэмдгийг харгалзан нэмэлт нормчлол хийвэл (хэрэв $A < -\varepsilon$ эсвэл $| A | < \varepsilon$, $B <- \varepsilon$ бол $-1$-ээр үржүүл) гарч ирэх коэффициентүүд давтагдашгүй байх болно.
Гурван хэмжээст ба олон хэмжээст тохиолдол¶
Гурван хэмжээст тохиолдолд аль хэдийн шулууныг тодорхойлох энгийн тэгшитгэл байхгүй (үүнийг хоёр хавтгайн огтлолцол буюу хоёр тэгшитгэлийн систем гэж тодорхойлж болох боловч энэ нь тохиромжгүй арга юм).
Үүний үр дүнд гурван хэмжээст ба олон хэмжээст тохиолдолд бид шулууныг тодорхойлох параметрийн аргыг ашиглах ёстой, өөрөөр хэлбэл $p$ цэг ба $v$ вектороор:
Өөрөөр хэлбэл шулуун гэдэг нь $p$ цэг дээр $v$ векторыг дурын коэффициенттэйгээр нэмж авч болох бүх цэг юм.
Хэрчмийн үзүүрүүдийн координатаар шулууныг параметрийн хэлбэрээр байгуулах нь энгийн: бид зүгээр л хэрчмийн нэг үзүүрийг $p$ цэг болгон, эхний үзүүрээс хоёр дахь үзүүр рүү чиглэсэн векторыг $v$ вектор болгон авна.