Пикийн теорем¶

Өөрөө огтлолцдоггүй олон өнцөгтийн бүх орой ямар нэг 2 хэмжээст торон дээр бүхэл тоон координаттай бол түүнийг торон олон өнцөгт гэж нэрлэнэ. Пикийн теорем нь энэ олон өнцөгтийн талбайг зааг дээр орших оройн тоо ба олон өнцөгтийн дотор чанд орших оройн тоогоор дамжуулан тооцоолох арга өгдөг.

Томьёо¶

Тэгээс ялгаатай талбайтай тодорхой торон олон өнцөгт өгөгдсөн байг.

Бид түүний талбайг $S$, олон өнцөгтийн дотор чанд орших бүхэл тоон координаттай цэгүүдийн тоог $I$, олон өнцөгтийн талууд дээр орших цэгүүдийн тоог $B$ гэж тэмдэглэнэ.

Тэгвэл Пикийн томьёо дараахыг өгүүлнэ:

$$S=I+\frac{B}{2}-1$$

Тухайлбал, хэрэв олон өнцөгтийн $I$ ба $B$ утгууд өгөгдсөн бол оройнуудыг нь мэдэхгүйгээр ч талбайг $O(1)$-д тооцоолж болно.

Энэ томьёог Австрийн математикч Георг Александр Пик 1899 онд нээж баталсан.

Баталгаа¶

Баталгааг олон үе шаттайгаар хийнэ: энгийн олон өнцөгтөөс эхлээд дурын олон өнцөгт хүртэл:

Ганц квадрат: $S=1, I=0, B=4$ бөгөөд энэ нь томьёог хангана.
Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель талуудтай дурын degenerate case биш тэгш өнцөгт: $a$ ба $b$ нь тэгш өнцөгтийн талуудын урт байг. Тэгвэл $S=ab, I=(a-1)(b-1), B=2(a+b)$. Орлуулснаар бид томьёо үнэн болохыг харна.
Тэнхлэгүүдтэй параллель катеттай тэгш өнцөгт гурвалжин: Үүнийг батлахын тулд ийм дурын гурвалжныг тэгш өнцөгтийг диагоналиар нь тасалж авах замаар үүсгэж болохыг анхаарна уу. Диагональ дээр орших бүхэл цэгүүдийн тоог $c$ гэж тэмдэглэвэл $c$-ээс үл хамааран энэ гурвалжны хувьд Пикийн томьёо биелэхийг харуулж болно.
Дурын гурвалжин: Ийм дурын гурвалжныг тэнхлэгүүдтэй параллель катеттай тэгш өнцөгт гурвалжнуудын талуудад залгах замаар тэгш өнцөгт болгож болохыг анхаарна уу (танд ийм 3-аас олон гурвалжин хэрэггүй). Эндээс бид дурын гурвалжны хувьд зөв томьёог авч болно.
Дурын олон өнцөгт: Үүнийг батлахын тулд түүнийг гурвалжинчил, өөрөөр хэлбэл бүхэл тоон координаттай гурвалжнууд болгон хуваа. Цаашлаад олон өнцөгтөд гурвалжин нэмэх үед Пикийн теорем хүчинтэй хэвээр байхыг батлах боломжтой. Ингэснээр бид дурын олон өнцөгтийн хувьд Пикийн томьёог баталлаа.

Илүү өндөр хэмжээст рүү ерөнхийлөх¶

Харамсалтай нь энэ энгийн бөгөөд гоё томьёог илүү өндөр хэмжээст рүү ерөнхийлж болохгүй.

Жон Рийв үүнийг 1957 онд дараах оройнуудтай тетраэдр (Рийвийн тетраэдр) санал болгож харуулсан:

$$A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,k),$$

энд $k$ нь дурын натурал тоо байж болно. Тэгвэл дурын $k$-ийн хувьд $ABCD$ тетраэдр дотроо бүхэл цэг агуулахгүй бөгөөд зааг дээрээ ердөө $A, B, C, D$ гэсэн $4$ цэгтэй байна. Ингэснээр дотор ба зааг дээрх цэгүүдийн тоо өөрчлөгдөөгүй хэдий ч эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай өөр өөр байж болно. Тиймээс Пикийн теорем ерөнхийлөлт хийх боломж олгодоггүй.

Гэвч илүү өндөр хэмжээст рүү Эрхартын олон гишүүнт ашиглан ерөнхийлөх боломжтой хэвээр байгаа боловч тэдгээр нэлээд төвөгтэй бөгөөд зөвхөн дотор байгаа цэгүүдээс төдийгүй политопын заагаас ч хамаарна.

Нэмэлт эх сурвалж¶

Пикийн теоремын хэдэн энгийн жишээ ба энгийн баталгааг эндээс олж болно.